Berikut adalah beberapa contoh soal dan penyelesaian terkait integral tak tentu untuk memberikan gambaran yang lebih jelas tentang cara menghitungnya

 Berikut adalah beberapa contoh soal dan penyelesaian terkait integral tak tentu untuk memberikan gambaran yang lebih jelas tentang cara menghitungnya.

1. Contoh 1: Integral dari $x^2$

Soal:

$$\int x^2 \, dx$$

Penyelesaian: Menggunakan rumus integral dasar untuk $x^n$:

$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

Dengan $n = 2$, kita dapatkan:

$$\int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C$$

Jadi, hasil integralnya adalah:

$$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C$$

---

2. Contoh 2: Integral dari $e^{3x}$

Soal:

$$\int e^{3x} \, dx$$

Penyelesaian: Kita bisa menggunakan substitusi untuk menyelesaikan integral ini. Misalnya, kita substitusi $u = 3x$, maka $du = 3 dx$, atau $dx = \frac{du}{3}$.

Substitusi ke dalam integral:

$$\int e^{3x} \, dx = \int e^u \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int e^u \, du$$

Integral dari $e^u$ adalah $e^u$, jadi:

$$\frac{1}{3} \cdot e^u + C = \frac{1}{3} \cdot e^{3x} + C$$

Jadi, hasil integralnya adalah:

$$\int e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C$$

---

3. Contoh 3: Integral dari $\sin(x)$

Soal:

$$\int \sin(x) \, dx$$

Penyelesaian: Menggunakan rumus integral dasar:

$$\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C$$

Jadi, hasil integralnya adalah:

$$\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C$$

---

4. Contoh 4: Integral dari $\frac{1}{x^2}$

Soal:

$$\int \frac{1}{x^2} \, dx$$

Penyelesaian: Kita dapat menulis $\frac{1}{x^2}$ sebagai $x^{-2}$. Maka integralnya menjadi:

$$\int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$$

Jadi, hasil integralnya adalah:

$$\int \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{x} + C$$

---

5. Contoh 5: Integral dari $x \cdot e^{x^2}$

Soal:

$$\int x e^{x^2} \, dx$$

Penyelesaian: Untuk menyelesaikan soal ini, kita gunakan substitusi. Misalkan:

$$u = x^2 \quad \text{maka} \quad du = 2x \, dx \quad \text{atau} \quad \frac{du}{2} = x \, dx$$

Substitusi ke dalam integral:

$$\int x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int e^u \, du$$

Integral dari $e^u$ adalah $e^u$, jadi:

$$\frac{1}{2} \cdot e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$$

Jadi, hasil integralnya adalah:

$$\int x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$$

---

6. Contoh 6: Integral dari $\frac{1}{x+1}$

Soal:

$$\int \frac{1}{x+1} \, dx$$

Penyelesaian: Ini adalah integral dasar yang menghasilkan fungsi logaritma natural. Kita dapat langsung menggunakan rumus:

$$\int \frac{1}{x+1} \, dx = \ln|x+1| + C$$

Jadi, hasil integralnya adalah:

$$\int \frac{1}{x+1} \, dx = \ln|x+1| + C$$

---

Kesimpulan

• Integral tak tentu adalah kebalikan dari diferensiasi, dan kita mencari antiderivatif atau fungsi asli dari fungsi yang diberikan.
• Beberapa teknik dasar untuk menyelesaikan integral tak tentu meliputi substitusi, integrasi parsial, dan penggunaan rumus integral dasar.
• Dalam setiap hasil integral tak tentu, selalu ada konstanta $C$ yang menyatakan bahwa terdapat banyak fungsi yang memiliki turunan yang sama.

Jika kamu ingin mencoba soal lainnya atau memiliki pertanyaan lebih lanjut, jangan ragu untuk bertanya!