Integral tentu adalah suatu jenis integral yang memiliki batasan atas dan bawah

 

Integral Tentu

Integral tentu adalah suatu jenis integral yang memiliki batasan atas dan bawah. Integral ini digunakan untuk menghitung luas daerah di bawah kurva suatu fungsi antara dua titik tertentu pada sumbu $x$. Secara matematis, integral tentu ditulis sebagai:

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$$

Di mana:

• $f(x)$ adalah fungsi yang ingin diintegralkan.
• $a$ adalah batas bawah dari integral.
• $b$ adalah batas atas dari integral.
• Hasil dari integral ini adalah suatu nilai tertentu, bukan sebuah fungsi seperti pada integral tak tentu.

Teorema Dasar Kalkulus

Teorema Dasar Kalkulus menyatakan bahwa jika $F(x)$ adalah fungsi primitif (antiderivatif) dari $f(x)$, maka integral tentu dapat dihitung sebagai:

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

Artinya, integral tentu dari $f(x)$ dari $a$ hingga $b$ adalah selisih antara nilai fungsi primitif $F(x)$ pada titik $b$ dan nilai fungsi primitif tersebut pada titik $a$.

Aplikasi Integral Tentu

Integral tentu digunakan dalam berbagai aplikasi, seperti:

• Menghitung luas daerah di bawah kurva atau antara dua kurva.
• Menghitung volume benda yang terbentuk oleh rotasi kurva di sekitar sumbu.
• Pekerjaan dan energi dalam fisika.
• Probabilitas dan statistik dalam menghitung distribusi probabilitas.

Contoh Soal Integral Tentu dan Penyelesaiannya

1. Contoh 1: Integral Tentu dari Fungsi Polinomial

Soal:

$$\int_{1}^{3} x^2 \, dx$$

Penyelesaian: Langkah 1: Cari antiderivatif (fungsi primitif) dari $x^2$.

$$F(x) = \frac{x^3}{3}$$

Langkah 2: Gunakan teorema dasar kalkulus untuk menghitung nilai integral.

$$\int_{1}^{3} x^2 \, dx = F(3) - F(1) = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$$

Jadi, hasil integralnya adalah:

$$\int_{1}^{3} x^2 \, dx = \frac{26}{3}$$

---

2. Contoh 2: Integral Tentu dari Fungsi Eksponensial

Soal:

$$\int_{0}^{1} e^x \, dx$$

Penyelesaian: Langkah 1: Cari antiderivatif (fungsi primitif) dari $e^x$.

$$F(x) = e^x$$

Langkah 2: Gunakan teorema dasar kalkulus untuk menghitung nilai integral.

$$\int_{0}^{1} e^x \, dx = F(1) - F(0) = e^1 - e^0 = e - 1$$

Jadi, hasil integralnya adalah:

$$\int_{0}^{1} e^x \, dx = e - 1$$

---

3. Contoh 3: Integral Tentu dari Fungsi Trigonometri

Soal:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx$$

Penyelesaian: Langkah 1: Cari antiderivatif (fungsi primitif) dari $\sin(x)$.

$$F(x) = -\cos(x)$$

Langkah 2: Gunakan teorema dasar kalkulus untuk menghitung nilai integral.

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx = F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(0) = -0 + 1 = 1$$

Jadi, hasil integralnya adalah:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx = 1$$

---

4. Contoh 4: Integral Tentu dari Fungsi Rasional

Soal:

$$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} \, dx$$

Penyelesaian: Langkah 1: Cari antiderivatif (fungsi primitif) dari $\frac{1}{x}$.

$$F(x) = \ln|x|$$

Langkah 2: Gunakan teorema dasar kalkulus untuk menghitung nilai integral.

$$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} \, dx = F(2) - F(1) = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) - 0 = \ln(2)$$

Jadi, hasil integralnya adalah:

$$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} \, dx = \ln(2)$$

---

Aplikasi Integral Tentu: Menghitung Luas Daerah

Misalkan kita ingin menghitung luas daerah antara kurva $y = x^2$ dan sumbu $x$ dari $x = 0$ hingga $x = 2$.

Soal:

$$\text{Luas} = \int_{0}^{2} x^2 \, dx$$

Penyelesaian: Langkah 1: Cari antiderivatif (fungsi primitif) dari $x^2$.

$$F(x) = \frac{x^3}{3}$$

Langkah 2: Gunakan teorema dasar kalkulus untuk menghitung nilai integral.

$$\int_{0}^{2} x^2 \, dx = F(2) - F(0) = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$$

Jadi, luas daerah di bawah kurva $y = x^2$ antara $x = 0$ dan $x = 2$ adalah:

$$\text{Luas} = \frac{8}{3}$$

---

Kesimpulan

• Integral tentu digunakan untuk menghitung nilai tertentu dari fungsi antara dua batasan, seperti luas daerah atau volume.
• Teorema dasar kalkulus memberikan cara yang efisien untuk menghitung integral tentu, yaitu dengan menghitung selisih antara nilai fungsi primitif pada batas atas dan batas bawah.
• Integral tentu memiliki aplikasi luas dalam fisika, ekonomi, dan berbagai disiplin ilmu lainnya, seperti dalam menghitung luas, volume, pekerjaan, dan banyak lagi.

Jika ada pertanyaan lebih lanjut atau ingin melihat contoh lainnya, jangan ragu untuk bertanya!