Teori bilangan adalah cabang matematika yang mempelajari bilangan bulat dan sifat-sifatnya. Berikut adalah beberapa contoh soal teori bilangan beserta penyelesaiannya.

---

Soal 1: Bilangan Prima

Tentukan apakah bilangan 37 merupakan bilangan prima.

Penyelesaian:

Bilangan prima adalah bilangan yang hanya memiliki dua pembagi, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Untuk menentukan apakah 37 merupakan bilangan prima, kita cek apakah ada bilangan selain 1 dan 37 yang membagi habis 37.

Pemeriksaan pembagi bilangan 37:

• 37 tidak dapat dibagi dengan 2 (karena 37 adalah bilangan ganjil).
• 37 tidak dapat dibagi dengan 3 (jumlah digit 3 + 7 = 10, yang tidak habis dibagi 3).
• 37 tidak dapat dibagi dengan 5 (karena 37 tidak berakhiran 0 atau 5).

Karena tidak ada pembagi selain 1 dan 37, maka 37 adalah bilangan prima.

---

Soal 2: Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Cari FPB dari 24 dan 36.

Penyelesaian:

Untuk mencari FPB, kita dapat menggunakan faktor prima dari kedua bilangan.

1. Faktorkan 24 dan 36 ke dalam faktor prima:

   • $24 = 2^3 \times 3$
   • $36 = 2^2 \times 3^2$

2. Ambil faktor prima yang sama dan pilih pangkat terkecil:

   • Faktor prima yang sama: 2 dan 3
   • Pangkat terkecil dari 2 adalah $2^2$
   • Pangkat terkecil dari 3 adalah $3^1$

Jadi, FPB adalah:

$$FPB = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$$

Jadi, FPB dari 24 dan 36 adalah 12.

---

Soal 3: Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

Cari KPK dari 8 dan 12.

Penyelesaian:

Untuk mencari KPK, kita dapat menggunakan faktor prima dari kedua bilangan.

1. Faktorkan 8 dan 12 ke dalam faktor prima:

   • $8 = 2^3$
   • $12 = 2^2 \times 3$

2. Ambil faktor prima yang sama dan pilih pangkat terbesar:

   • Faktor prima yang sama: 2
   • Pangkat terbesar dari 2 adalah $2^3$
   • Tambahkan faktor prima yang tidak ada pada salah satu bilangan, yaitu 3 dari 12.

Jadi, KPK adalah:

$$KPK = 2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24$$

Jadi, KPK dari 8 dan 12 adalah 24.

---

Soal 4: Bilangan Berpangkat

Hitung $5^3 + 2^4$.

Penyelesaian:

Untuk menghitung $5^3 + 2^4$, kita lakukan perhitungan berikut:

$$5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$$ $$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$$

Sekarang, jumlahkan hasilnya:

$$5^3 + 2^4 = 125 + 16 = 141$$

Jadi, hasil dari $5^3 + 2^4$ adalah 141.

---

Soal 5: Sifat Bilangan Modulo

Tentukan hasil dari $29 \mod 7$.

Penyelesaian:

Bilangan modulo adalah sisa pembagian suatu bilangan dengan bilangan lainnya. Untuk menghitung $29 \mod 7$, kita bagi 29 dengan 7 dan ambil sisanya.

$$29 \div 7 = 4 \, \text{sisa} \, 1$$

Jadi, $29 \mod 7 = 1$.

---

Soal 6: Teorema Fermat

Buktikan bahwa $2^{10} \mod 5 = 4$.

Penyelesaian:

Untuk menghitung $2^{10} \mod 5$, kita dapat menggunakan sifat-sifat bilangan modulo. Pertama, kita hitung beberapa pangkat dari 2 modulo 5:

$$2^1 \mod 5 = 2$$ $$2^2 \mod 5 = 4$$ $$2^3 \mod 5 = 8 \mod 5 = 3$$ $$2^4 \mod 5 = 16 \mod 5 = 1$$

Karena $2^4 \equiv 1 \mod 5$, kita tahu bahwa setiap kali kita naikkan pangkat 4, hasilnya akan kembali ke 1. Oleh karena itu:

$$2^{10} = 2^{4 \times 2 + 2} = (2^4)^2 \times 2^2$$ $$2^{10} \mod 5 = (1^2 \times 4) \mod 5 = 4 \mod 5 = 4$$

Jadi, $2^{10} \mod 5 = 4$.

---

Soal 7: Pembagian Bilangan

Tentukan apakah 101 dapat dibagi dengan 7.

Penyelesaian:

Untuk mengetahui apakah 101 dapat dibagi dengan 7, kita bagi 101 dengan 7:

$$101 \div 7 = 14 \, \text{sisa} \, 3$$

Karena sisanya bukan 0, maka 101 tidak dapat dibagi dengan 7.

---

Soal 8: Faktor Prima

Faktorkan 60 ke dalam faktor prima.

Penyelesaian:

Untuk memfaktorkan 60 ke dalam faktor prima, kita lakukan pembagian berturut-turut:

$$60 \div 2 = 30$$ $$30 \div 2 = 15$$ $$15 \div 3 = 5$$ $$5 \div 5 = 1$$

Jadi, faktor prima dari 60 adalah:

$$60 = 2^2 \times 3 \times 5$$