deret adalah penjumlahan dari deretan bilangan atau fungsi yang disusun berdasarkan suatu pola tertentu

 

Deret dalam Kalkulus

Dalam kalkulus, deret adalah penjumlahan dari deretan bilangan atau fungsi yang disusun berdasarkan suatu pola tertentu. Deret sering digunakan dalam konteks deret pangkat (series expansion), yaitu representasi suatu fungsi sebagai penjumlahan tak hingga dari suku-suku yang berbentuk pangkat dari variabel tertentu.

Salah satu contoh yang paling sering digunakan adalah deret Taylor dan deret Maclaurin. Deret juga sering digunakan untuk menyelesaikan integral atau mendekati fungsi yang sulit diintegrasikan secara langsung.

1. Deret Pangkat (Power Series)

Deret pangkat adalah deret yang terdiri dari suku-suku yang berbentuk pangkat dari variabel $x$. Bentuk umum deret pangkat adalah:

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$

Di mana:

• $a_n$ adalah koefisien dari suku ke-n.
• $x$ adalah variabel.
• $n$ adalah indeks yang berjalan dari 0 hingga tak hingga.

Contoh deret pangkat yang terkenal adalah deret geometrik dan deret Taylor.

1.1 Deret Geometrik

Deret geometrik adalah deret yang memiliki bentuk:

$$S = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots$$

Di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio umum.

Jumlah deret geometrik tak hingga (dengan $|r| < 1$) diberikan oleh:

$$S = \frac{a}{1 - r}$$

Contoh:

$$1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \frac{1}{1 - x} \quad \text{untuk} \quad |x| < 1$$

---

2. Deret Taylor dan Maclaurin

Deret Taylor adalah ekspansi suatu fungsi $f(x)$ di sekitar titik $a$. Bentuk umum deret Taylor untuk fungsi $f(x)$ adalah:

$$f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x - a)^3 + \cdots$$

Atau dalam bentuk yang lebih umum:

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n$$

Di mana:

• $f^{(n)}(a)$ adalah turunan ke-n dari $f(x)$ yang dievaluasi pada $x = a$.
• $n!$ adalah faktorial dari $n$.

Jika $a = 0$, maka deret Taylor menjadi deret Maclaurin.

2.1 Contoh Deret Taylor: Fungsi $e^x$

Fungsi $e^x$ memiliki deret Taylor yang sangat sederhana karena turunan dari $e^x$ adalah $e^x$ itu sendiri untuk setiap derivate. Oleh karena itu, deret Taylor untuk $e^x$ di sekitar $x = 0$ (deret Maclaurin) adalah:

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$

Atau secara umum:

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$

2.2 Contoh Deret Taylor: Fungsi $\sin(x)$

Deret Taylor untuk fungsi $\sin(x)$ di sekitar $x = 0$ (deret Maclaurin) adalah:

$$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$

Secara umum, deretnya adalah:

$$\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

---

3. Deret Maclaurin

Deret Maclaurin adalah kasus khusus dari deret Taylor yang dievaluasi pada $a = 0$. Dengan kata lain, deret Maclaurin adalah deret Taylor untuk fungsi yang dievaluasi di titik $0$.

Contoh fungsi-fungsi yang sering digunakan dengan deret Maclaurin:

• $e^x$: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$
• $\sin(x)$: $\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$
• $\cos(x)$: $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$
• $\ln(1+x)$: $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ untuk $|x| < 1$

4. Menggunakan Deret untuk Menghitung Integral

Seringkali, untuk menghitung integral yang sulit, kita dapat mengembangkan fungsi ke dalam deret pangkat dan kemudian mengintegralkan masing-masing suku dalam deret tersebut. Ini adalah salah satu aplikasi utama dari deret dalam kalkulus.

Contoh Integral Menggunakan Deret:

Misalkan kita ingin menghitung integral dari fungsi $\frac{1}{1-x}$, yang dapat dinyatakan sebagai deret geometrik:

$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \quad \text{untuk} \quad |x| < 1$$

Kemudian, kita dapat mengintegralkan deret ini term-by-term:

$$\int \frac{1}{1-x} \, dx = \int \left( 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \right) dx$$

Setiap suku diintegralkan:

$$\int 1 \, dx = x, \quad \int x \, dx = \frac{x^2}{2}, \quad \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}, \quad \text{dan seterusnya.}$$

Jadi, hasil integralnya adalah:

$$x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots + C$$

---

5. Konvergensi Deret

Penting untuk diperhatikan bahwa deret pangkat seperti deret Taylor dan Maclaurin hanya berlaku untuk nilai $x$ yang berada dalam radius konvergensi. Artinya, deret ini hanya akan memberikan hasil yang akurat jika $x$ berada dalam interval tertentu. Untuk mengetahui apakah deret tersebut konvergen atau tidak pada titik tertentu, kita dapat menggunakan tes konvergensi, seperti tes rasio atau tes akar.

---

Kesimpulan

• Deret Pangkat adalah penjumlahan tak hingga dari suku-suku yang berbentuk pangkat dari variabel $x$. Deret ini sering digunakan untuk mendekati fungsi yang lebih kompleks.
• Deret Taylor dan Maclaurin adalah ekspansi fungsi di sekitar titik tertentu (bisa $x = 0$ untuk Maclaurin).
• Deret sering digunakan untuk menghitung integral yang sulit dengan mengembangkan fungsi menjadi deret dan mengintegralkan tiap suku secara terpisah.
• Konvergensi deret adalah aspek penting yang harus diperhatikan untuk memastikan bahwa deret memberikan hasil yang valid.

Jika Anda ingin mendalami lebih lanjut tentang konvergensi deret atau aplikasi lainnya, silakan beri tahu!